Paradoja de San Petesburgo
Lee un artículo en El Universal sobre esta paradoja aquí
En 2013 se cumplen 300 años de que Nicolaus Bernoulli planteó el llamado Juego o Paradoja de San Petersburgo. Fue propuesto por Bernoulli en una carta dirigida a Pierre de Montmort el 9 de septiembre de 1713. Nicolaus consultó en 1715 a su primo Daniel, quien propuso una solución en 1738 en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, de donde la paradoja toma el nombre.
El juego consiste en lo siguiente: primero, un jugador debe pagar al banquero una apuesta para participar en el juego. Luego el banquero lanza una moneda regular al aire tantas veces como sea necesario hasta que salga por primera vez "cara" (o "cruz", según se haya convenido).Después debe contarse el número N de lanzamientos que se hicieron para que cayera "cara", y el banquero debe pagar al jugador 2N monedas. Por ejemplo, si sale cara la primera vez el jugador gana 21 monedas, es decir, 2 monedas; si sale en el segundo lanzamiento gana 22monedas, o sea 4 monedas; si sale en el tercero, 23 monedas, esto es 8 monedas; y así sucesivamente. El problema a resolver es a) ¿cuánto dinero debe tener preparado el banquero para responder a un eventual finito, pero grande de lanzamientos?, y b) ¿cuál es el pago justo que el jugador debe apostar al banquero para tener derecho a jugar? Se obtiene un paradoja, pues dado que el número de lanzamientos es finito, pero puede ser muy grande, el banquero no podrá reunir una cantidad finita de dinero suficiente para garantizar el pago al jugador, pues el valor medio de la ganancia es infinito. Mientras tanto, el jugador ganará una cantidad de dinero grande con muy poca probabilidad, por lo tanto debe apostar poco dinero por el juego.
Desde el siglo xviii muchos matemáticos importantes buscaron una solución al problema. Algunos de ellos fueron los propios Daniel y Nicolás Bernoulli, además de D'Alambert, Lagrange, Bertrand, Euler, Laplace, Borel, Buffon, Poisson, De Morgan, von Mises, P. Levy y Khinchin. De ellos surgieron las propuestas de un gran número de soluciones, cada una de ellas sin resolver del todo el problema. Una de las primeras dificultades fue que las nociones de esperanza y espacios de probabilidad infinitos no fueron definidas formalmente hasta que Kolmogorov las introdujo axiomáticamente en 1933.
La paradoja de San Petersburgo tiene una gran importancia porque fomentó el desarrollo acelerado de ideas en el área de probabilidad y en la teoría económica del siglo xx. Por ejemplo, la discusión al respecto de Karl Menger en 1934 llevó a von Neumann y a Morgenstern a proponer diez años después la teoría economista de utilidades bajo riesgo.
Una solución de la paradoja llegó 292 años después de su creación, por parte del matemático norteamericano William Feller en 1945, usando la demostración de una ley débil de grandes números que había propuesto en 1937. Feller planteó permitir un número finito, perosuficientemente grande de N repeticiones del juego. Entonces, el precio justo de cada juego seria log N, el logaritmo con base 2 de N. Así, el precio justo que pagaría el jugador por repetir el juego 1024 veces, sería de 10 monedas. Feller demostró también que no se tiene una convergencia casi segura bajo ninguna normalización.
Para conmemorar los 300 años de esta conjetura, el programa del 29th European Meeting of Statisticians, en Budapest, Hungría, del 20 al 25 de julio, tendrá una Sesión Especial Conmemorativa organizada por István Berkes, de la Academia de Ciencias de Hungría, así como una Sesión en Honor de Sandor Csorgo, organizada por David Mason, de la Universidad de Delaware. Ver el programa aquí
Para más información al respecto, sugerimos las siguientes consultas:
Bibliografía:
W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Volume I, Wiley, 3rd edition, 1968.
W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Volume II, Wiley, 2rd edition, 1971.
S. Csorgo and G. Simons, Laws of large numbers for cooperative St. Petersburg gamblers, Periodica Matematica Hungarica Vol. 50 (1-2), (2005), 99-115.
S. CSorgo and P. Kevey, Merging asymptotic expansions for ccoperative gamblers in generalized St. Petersburg games, Acta Math. Hungar. 121, (1-2), (2008), 119-156.
Informes y comentarios: todorova@cimat.mx
El juego consiste en lo siguiente: primero, un jugador debe pagar al banquero una apuesta para participar en el juego. Luego el banquero lanza una moneda regular al aire tantas veces como sea necesario hasta que salga por primera vez "cara" (o "cruz", según se haya convenido).Después debe contarse el número N de lanzamientos que se hicieron para que cayera "cara", y el banquero debe pagar al jugador 2N monedas. Por ejemplo, si sale cara la primera vez el jugador gana 21 monedas, es decir, 2 monedas; si sale en el segundo lanzamiento gana 22monedas, o sea 4 monedas; si sale en el tercero, 23 monedas, esto es 8 monedas; y así sucesivamente. El problema a resolver es a) ¿cuánto dinero debe tener preparado el banquero para responder a un eventual finito, pero grande de lanzamientos?, y b) ¿cuál es el pago justo que el jugador debe apostar al banquero para tener derecho a jugar? Se obtiene un paradoja, pues dado que el número de lanzamientos es finito, pero puede ser muy grande, el banquero no podrá reunir una cantidad finita de dinero suficiente para garantizar el pago al jugador, pues el valor medio de la ganancia es infinito. Mientras tanto, el jugador ganará una cantidad de dinero grande con muy poca probabilidad, por lo tanto debe apostar poco dinero por el juego.
Desde el siglo xviii muchos matemáticos importantes buscaron una solución al problema. Algunos de ellos fueron los propios Daniel y Nicolás Bernoulli, además de D'Alambert, Lagrange, Bertrand, Euler, Laplace, Borel, Buffon, Poisson, De Morgan, von Mises, P. Levy y Khinchin. De ellos surgieron las propuestas de un gran número de soluciones, cada una de ellas sin resolver del todo el problema. Una de las primeras dificultades fue que las nociones de esperanza y espacios de probabilidad infinitos no fueron definidas formalmente hasta que Kolmogorov las introdujo axiomáticamente en 1933.
La paradoja de San Petersburgo tiene una gran importancia porque fomentó el desarrollo acelerado de ideas en el área de probabilidad y en la teoría económica del siglo xx. Por ejemplo, la discusión al respecto de Karl Menger en 1934 llevó a von Neumann y a Morgenstern a proponer diez años después la teoría economista de utilidades bajo riesgo.
Una solución de la paradoja llegó 292 años después de su creación, por parte del matemático norteamericano William Feller en 1945, usando la demostración de una ley débil de grandes números que había propuesto en 1937. Feller planteó permitir un número finito, perosuficientemente grande de N repeticiones del juego. Entonces, el precio justo de cada juego seria log N, el logaritmo con base 2 de N. Así, el precio justo que pagaría el jugador por repetir el juego 1024 veces, sería de 10 monedas. Feller demostró también que no se tiene una convergencia casi segura bajo ninguna normalización.
Para conmemorar los 300 años de esta conjetura, el programa del 29th European Meeting of Statisticians, en Budapest, Hungría, del 20 al 25 de julio, tendrá una Sesión Especial Conmemorativa organizada por István Berkes, de la Academia de Ciencias de Hungría, así como una Sesión en Honor de Sandor Csorgo, organizada por David Mason, de la Universidad de Delaware. Ver el programa aquí
Para más información al respecto, sugerimos las siguientes consultas:
Bibliografía:
W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Volume I, Wiley, 3rd edition, 1968.
W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Volume II, Wiley, 2rd edition, 1971.
S. Csorgo and G. Simons, Laws of large numbers for cooperative St. Petersburg gamblers, Periodica Matematica Hungarica Vol. 50 (1-2), (2005), 99-115.
S. CSorgo and P. Kevey, Merging asymptotic expansions for ccoperative gamblers in generalized St. Petersburg games, Acta Math. Hungar. 121, (1-2), (2008), 119-156.
Informes y comentarios: todorova@cimat.mx
Regresar
